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Dessins et plans, Géométrie, Aires (surfaces), Aires (surfaces) -- Mesure, Nombres transcendants, Pi (le nombre), British library -- Manuscrits. Papyrus 10188, Papyrus Bremner-Rhind
Approximation de PI par Ahmès
Illustration de l'approximation de π (PI) par Ahmès (Égypte). Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers l’an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d’un manuel de problèmes pédagogiques très ancien. On y trouve une méthode pour évaluer l’aire d’un disque en prenant le carré dont le côté est égal au diamètre du disque diminué d’un neuvième. Cette méthode conduit à une évaluation de π de 256/81. Dans l’illustration ci-contre, le disque a pour diamètre 9. L’aire du disque est légèrement supérieure à l’aire de l’octogone irrégulier obtenu en rognant les coins du carré de côté 9. Cet octogone a pour aire 63, l’aire du disque est alors évaluée à 64 soit l’aire d’un carré de côté 8. Le rapport entre l’aire du disque et le carré du rayon est alors évalué par 64/(9/2)^2, c’est-à-dire 256/81.
Dessins et plans, Cercles, Polygones, Aires (surfaces), Aires (surfaces) -- Mesure, Géométrie des nombres, Nombres non-rationnels, Nombres transcendants, Pi (le nombre)
Calcul de l'aire du cercle avec Géogébra
Calcul de l'aire du cercle avec Géogébra : rayon x demi-circonférence. On déduit d’une propriété analogue pour les polygones réguliers que l’aire d’un cercle égale son demi-périmètre multiplié par son rayon. le périmètre du polygone est à peu près 2πr alors qu’en redistribuant les triangles formés on remarque que son aire est à peu près πr2. Pour formaliser le « à peu près » il faudrait faire tendre le nombre de côtés du polygone vers l’infini, ce qui illustre déjà la nature « analytique » de π.
Dessins et plans, Cercles, Polygones, Aires (surfaces), Aires (surfaces) -- Mesure, Géométrie des nombres, Nombres transcendants, Pi (le nombre)
Encadrement de PI par Liu Hui
Représentation de l'encadrement de π par Liu Hui. Si les calculs pratiques peuvent se faire avec une bonne précision en utilisant la valeur 3,14 comme approximation de π, la curiosité des mathématiciens les pousse à déterminer ce nombre avec plus de précision. Au IIIe siècle, en Chine, Liu Hui, commentateur des Neuf chapitres, propose comme rapport entre le périmètre et le diamètre la valeur pratique de 3 mais développe des calculs proches de ceux d’Archimède mais plus performants et fournit une approximation de π de 3,1416.
Photographie, Dessins et plans, Géométrie, Carré, rectangle, rectangles, Angles, Parallèles (géométrie), Parallélogrammes, Polygones, Tablettes d'argile cunéiformes, Pentagones, Diagonales, Racine carrée de deux, Losanges, Quadrilatères, Trapèzes, Aires (surfaces), Aires (surfaces) -- Mesure
Parallélograme
Exemple de parallélogramme. Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux
Dessins et plans, Géométrie, Disques, Pizzas, Aires (surfaces), Aires (surfaces) -- Mesure, Théorèmes -- Démonstration automatique
Théorème de la pizza
Théorème de la pizza. Source : Carter, Larry & Wagon, Stan (1994a), "Proof without Words: Fair Allocation of a Pizza", Mathematics Magazine 67 (4): 267.
Dessins et plans, Géométrie, Pizzas, Aires (surfaces), Aires (surfaces) -- Mesure, Théorèmes -- Démonstration automatique, Théorèmes -- Preuve automatique
Théorème de la pizza en huit parts
En géométrie euclidienne, le théorème de la pizza donne une égalité ou une inégalité d'aires lors de la partition d'un disque par des droites concourantes. Il porte ce nom en raison d'une forte analogie avec la technique usuelle de découpage d'une pizza. Exemple avec huit parts : aire jaune = aire violette. Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_pizza.
Carrés géométriques
Illustration de l'égalité 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ = 1/3 : chacun des carrés violets mesure 1/4 de la surface du grand carré le plus proche (1/2×1/2 = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16, etc.). Par ailleurs, la somme des aires des carrés violets est égale à un tiers de la superficie du grand carré.
Deux îles de l'Antarctique
L.L. Ivanov et al., Antarctica : Carte des îles de Livingston et de Greenwich, échelle au 1:100000, dans les îles Shetland du Sud, au Nord de l'Antarctique. Montage photo présentant les spécificités des deux îles. L'île de Livingston est située dans l’Océan austral entre le passage de Drake et le détroit de Bransfield, à la distance de 110 km au nord-ouest de la Péninsule Antarctique et 830 km au sud-sud-est du cap Horn. Son sommet principal, la Montagne de Tangra, est situé au sud-est de l'île et culmine à 1700 m. La majeure partie de sa surface est recouverte d'une calotte de glace, qui forme la ligne côtière dans beaucoup de secteurs. Le climat est antarctique maritime. Les températures sont plutôt constantes : elles n'excèdent que rarement 3°C l'été et ne descendent que peu en dessous de –11°C pendant l'hiver. Toutefois, l'île est célèbre pour son mauvais temps, qui est hautement variable, venteux, humide et très peu ensoleillé. Livingston a été découvert par l'Anglais William Smith, le 19 février 1819, et pendant les années qui suivirent, l'île est devenue un centre d'exploitation de ressources vivantes marines. Il reste de cette époque des cabanes, des bateaux et d'autres objets façonnés par les chasseurs de phoques américains et anglais du XIXe siècle. Livingston possède la plus grande concentration de lieux historiques ou symboliques de l'Antarctique, après la Géorgie du Sud. L'île est régie par le régime du Traité sur l'Antarctique. Les bases scientifiques Juan Carlos I (Espagne) et Saint-Clément-d’Ohrid (Bulgarie) se trouvent dans la baie sud de Livingston depuis 1988, et la petite base de Cap Shirreff (Chili et É.-U.) est elle active depuis 1991. Il y a deux aires naturelles protégées sur l’île, la Péninsule Byers et le Cap Shirreff. Le Point Hannah sur le littoral sud de Livingston et l’île Half Moon, près de la côte est, sont des destinations parmi les plus populaires du tourisme antarctique et austral extrême, souvent visitées par des bateaux d’excursion.
Érosion éolienne et hydrique dans l'île Maurice
Phénomène d'érosion éolienne et hydrique sur sol dévégétalisé, Ile Maurice (Colline, Chamarel). Dans la zone intertropicale, l'altération des roches feldspathiques par lessivage permet la formation de latérites, roches rouges ou brunes constituées d'hydroxydes d'aluminium et de fer et qui forment une véritable cuirasse à la surface des plateaux des régions chaudes et humides. L'érosion éolienne attaque les roches en enlevant des particules (déflation,abrasion) ou en polissant la surface. Elle est d'autant plus efficace que les obstacles sont inexistants et que le vent est puissant, régulier et chargé de poussières. Elle conduit à une dégradation environnementale sévère par l’appauvrissement des sols et le déplacement de volumes élevés de particules par le vent. L’érosion éolienne est le principal facteur physique d’épuisement des terres agricoles et, par l’ensablement, constitue une des gênes majeures dans les aires urbaines et oasiennes des écosystèmes secs.
Piste d'athlétisme à huit couloirs
Poids, Saut à la perche, Saut en hauteur, Longueur et Triple saut, Marteau/Disque, Javelot. Une piste d'athlétisme est une surface plane et ovale, de longueur officielle de 400 m en plein air. La largeur et le nombre de couloirs sont variables (habituellement de six à huit couloirs de 1,22 mètre de large, le couloir 8 faisant 453,03 m de long). La piste d'athlétisme est souvent associé à d'autres aires, destinées à la pratique d'autres disciplines de l'athlétisme (sauts, lancers) ou à d'autres sports (football, rugby à XV). Plusieurs formes de piste existent, en anse de panier (à deux rayons) ou à un rayon. Les rayons changent selon la forme de la piste, la partie droite fait 80 m, la partie courbe (virage) fait 120 m. La longueur de la ligne droite d'arrivée permet le 100 m et le 110 m haies par un allongement de part et d'autre de l'anneau. Ceci est dicté par l'implantation générale du stade. Les critères sont la topographie du sol, l'emprise de toutes les zones annexes (tribunes, parking, voie d'accès, billetterie, stade d'échauffement, buvettes...), la présence ou non d'un terrain de foot ou de rugby au centre, etc...La longueur officielle du tour de piste est de 400 m ; certains stades font l'exception avec des tours de piste variant entre 500 et 600 m.
