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Dessins et plans, Géométrie, Compas, Dessin -- Matériel, Arcs, Dessin -- Instruments, Constructions géométriques, Cercles, Dessin -- Technique, Constructions à la règle et au compas
Arc de cercle
Cercle de rayon "r", arc de cercle de longueur "L" soustendu par un angle θ (theta) avec un secteur circulaire de surface "A".
Calcul de racine carrée au compas
Construction au compas seul de la racine carrée du produit xy. Si A a pour abscisse x et B pour abscisse y, on construit les points A' et B' d'abscisses -x et -y Les cercles de diamètres [AB'] et [A'B] se coupent sur l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée sqrt{xy} (propriété de la hauteur dans un triangle rectangle). Il est toujours possible de rabattre sqrt{xy} en abscisse par symétrie par rapport à la première bissectrice (constructible au compas).
Construction au compas de l'intersection d'une droite et d'un cercle
Construction au compas seul de l'intersection d'une droite et d'un cercle (cas général) : Si la droite (AB) n'est pas un diamètre du cercle, il suffit de construire le symétrique du cercle par rapport à la droite (AB). Les points d'intersection des deux cercles sont aussi les points d'intersection du cercle de départ avec la droite (AB).
Dessins et plans, Géométrie, Compas, Parallèles (géométrie), Constructions géométriques, Milieux (géométrie), Segments (géométrie)
Construction au compas du milieu d'un segment
Construction au compas seul du milieu d'un segment : Le point A' est le symétrique de A par rapport à B. Les cercles de centre A' passant par A et de centre A passant par B se rencontrent en C et D. Le point D' est le symétrique de D par rapport à A. I est le quatrième point du parallélogramme AD'CI.
Construction d'un parallélogramme au compas
Construction au compas seul du quatrième point d'un parallélogramme : Les points A, B et C étant donnés, le quatrième point D du parallélogramme ABCD est le point d'intersection du cercle de centre A et de rayon BC et du cercle de centre C et de rayon BA non situé dans le demi-plan de frontière (CA) contenant B.
Dessins et plans, Géométrie, Compas, Règles, Parallèles (géométrie), Symétrie, Constructions géométriques
Construction d'une parallèle
Construction à la règle et au compas d'une parallèle à une droite passant par un point donné : La parallèle à la droite (AB) passant par un point C se construit à l'aide de la propriété de la droite des milieux. On construit le symétrique C1 du point C par rapport à A puis le symétrique C2 du point C1 par rapport à B. la droite recherchée est la droite (CC2). Le théorème des milieux est un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès.
Dessins et plans, Géométrie, Compas, Règles, Constructions géométriques, Médiatrices, Perpendiculaires
Construction d'une perpendiculaire
Construction à la règle et au compas d'une perpendiculaire à une droite passant par une point extérieur à la droite : La perpendiculaire à la droite (AB) passant par un point C non situé sur (AB) est la droite (CC') joignant le point C à son symétrique par rapport à la droite (AB). Si le point C est situé sur (AB), il suffit de prendre le symétrique A' (ou B') du point A (ou du point B) par rapport à C, la perpendiculaire est alors la médiatrice de [AA'] (ou de [BB']).
Construction du milieu d'un arc au compas
Construction au compas seul du milieu d'un arc : OABC est un parallélogramme de la forme OA=OB, I est le milieu de l'arc AB de centre O, D est le point de la demi-droite [OI) telle que CA=CD, alors OD=CI. En effet, CD^2=CA^2=2CO^2+OA^2. Ensuite il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore dans les deux triangles rectangle COI et COD : CI^2=CO^2+OI^2=CO^2+OA^2, OD^2=CD^2-CO^2=CO^2+OA^2. Or cette figure est réalisable au compas seul et permet donc de placer le point I. Si l'on suppose donnés le point O et l'arc AB, on construit le point C intersection du cercle de centre B et passant par A avec le cercle de centre O et de rayon AB. On construit de même le point C' intersection du cercle de centre A passant par O et du cercle de centre O et de rayon AB. Le point D est à l'intersection des cercles de centre C et C' et passant par A et B. Le point I est à l'intersection des cercles de centre C et C' et de rayon OD.
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Couper un cercle en 8
Le tracé d'une bissectrice permet de définir deux arcs égaux, et ici de diviser le cercle en 8 parties égales : placer un point entre chaque point déjà placé : on place la pointe du compas sur un des points et l'on trace un arc de cercle à l'extérieur du cercle de base, et l'on fait de même sur le point voisin ; l'intersection des deux arcs définit un point. Puis, on trace à la règle le diamètre passant par ce point-là ; il coupe l'arc de cercle en deux parts égales (bissectrice de l'angle). Ainsi, si le cercle est déjà coupé en 4 parts, on en obtient 8 ; si le cercle est déjà coupé en 12 parts, on en obtient 24. On peut recouper les arcs en 2 par la même méthode, et multiplier ainsi le nombre d'arcs par 2, pour obtenir encore plus d'arcs.
Dessins et plans, Géométrie, Compas, Dessin -- Matériel, Dessin -- Instruments, Constructions géométriques, Cercles, Dessin -- Technique, Constructions à la règle et au compas
Couper un cercle en douze parties égales
Méthode pour couper un cercle en douze parties égales en trois étapes : Avant de tracer le cercle, on trace les diamètres horizontal et vertical (droites horizontale et verticale passant par le centre) ; ce sont les « traits d'axe du cercle ». Ainsi, lorsque l'on trace le cercle, celui-ci est séparé en 4 quartiers. Pour le séparer en 12 parts égales, on place la pointe du compas sur l'intersection d'un axe et du cercle, tout en gardant un écartement égal au rayon. Puis, on trace les arcs de cercle coupant le cercle. On procède ainsi pour chaque intersection axe-cercle, on obtient au total 12 parts égales.
Découpage d'un polygone en triangles
Les triangles ont une importance capitale : en effet, tout polygone — surface délimitée par une ligne brisée fermée — peut se découper en triangles (maillage). Par ailleurs, tout triangle peut se découper en deux triangles rectangles. Ainsi, si l'on sait travailler sur un triangle rectangle, on sait travailler sur tout polygone. Par ailleurs, les triangles rectangles ont des propriétés particulières qui permettent des calculs faciles.
Intersection d'une droite et d'un cercle au compas
Construction au compas seul de l'intersection d'un cercle avec son diamètre : Si la droite (AB) est un diamètre du cercle, et si le point D n'est pas situé sur (AB). On construit de symétrique de D par rapport à (AB). Les deux points à chercher sont les milieux des deux arcs d'extrémités DD'.
Intersection de deux droites
Construction au compas seul de l'intersection de deux droites (étape 1) : construction du point C' symétrique de C par rapport à (AB) et du point E sur (CD) tel que C'C=C'E.
Dessins et plans, Géométrie, Parallèles (géométrie), Thalès, Théorème de, Constructions géométriques, Triangles (géométrie)
Réciproque du théorème de Thalès
Le théorème des milieux est un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès. Si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés d’un triangle, alors il est parallèle au troisième côté, et sa longueur est égale à la moitié de celle de ce troisième côté. Soient I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [AC], alors (IJ) // (BC) et IJ = BC ÷ 2.
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Symétrique d'un point par rapport à un point
Construction du symétrique d'un point A par rapport à un point B, à la règle et au compas.
Symétrique d'un point par rapport à une droite
Construction du symétrique d'un point C par rapport à une droite à la règle et au compas : Le symétrique du point C par rapport à la droite (AB) s'obtient en construisant le point d'intersection (différent de C) entre le cercle de centre A passant par C et le cercle de centre B et passant par C. Si le point C est sur la droite (AB), il est son propre symétrique et aucune construction n'est nécessaire.
Symétrique d'un point par rapport à une droite
Construction au compas seul du symétrique d'un point par rapport à une droite. Le symétrique du point C par rapport à la droite (AB) est le point d'intersection des cercles de centres A et B et passant par C. Dans la construction la droite (AB) est tracée en pointillés pour permettre de suivre le raisonnement mais elle ne sert pas en tant que telle dans la construction. En géométrie classique plane, le théorème de Mohr Mascheroni, démontré par Georg Mohr en 1672 et par Lorenzo Mascheroni en 1797, affirme que si une construction géométrique est possible à la règle et au compas, alors elle est possible au compas seul (sauf le tracé effectif des droites). Est considéré comme constructible tout point d'intersection de deux cercles dont les centres sont des points déjà construits et dont les rayons sont des distances entre des points déjà construits.
Théorème d'Apollonius
Le théorème de la médiane, ou théorème d'Apollonius, est une relation entre la longueur d'une médiane d'un triangle et la longueur de ses côtés : si S est le centre du parallélogramme, alors 2NS^2 + frac 12 MP^2 = NM^2+NP^2 2NS^2 =frac 12 NM^2+NP^2 NQ^2=NM^2+2NP^2 . Apollonios de Perga ou Apollonius de Perge (en grec ancien Ἀπολλώνιος / Apollốnios, v. 262 – v. 190 av. J.-C.) était un géomètre et astronome grec. Il serait originaire de Pergé (ou Perga, ou encore Pergè actuelle Aksu en Turquie).