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Dessins et plans, Cube, Mécanique, Efforts (mécanique), Contraintes (mécanique), Milieux continus, Mécanique des, Tenseurs, Calcul des
Numérotation des faces du cube
Désignation des faces d'un cube utilisée notamment en mécanique des milieux continus. Le tenseur des contraintes est une représentation utilisée en mécanique des milieux continus pour caractériser l'état de contrainte, c'est-à-dire les efforts intérieurs mis en jeu entre les portions déformées du milieu. Le terme a été introduit par Cauchy vers 1822. Comme les efforts intérieurs sont définis pour chaque surface coupant le milieu (on parle d'ailleurs également d'efforts surfaciques), le tenseur est défini localement, en chaque point du solide. L'état de contrainte du solide est donc représenté par un champ tensoriel. On parle aussi de ce fait de champ de contrainte.
Dessins et plans, Mécanique, Physique, Voûtes, Efforts (mécanique), Structures (mécanique) -- Conception et construction, Constructions -- Dynamique, Théorie des structures
Répartition des efforts sur une structure
Transmission des efforts par une structure : effort primaire en rouge, effort réparti en bleu ; de gauche à droite : 1) treillis, charge nodale ; 2) voûte parabolique (nubienne), charge répartie ; 3) voûte en berceau, charge répartie ; 4) palée, portique, charge répartie. Source : http://fr.wikiversity.org/wiki/M%C3%A9canique_pour_l%27enseignement_technique_industriel/Notions_de_m%C3%A9canisme_et_de_structure. La vue de détail montre la transmission des efforts de pierre en pierre, ou de brique en brique, pour une voûte arquée.
Dessins et plans, Mécanique, Physique, Efforts (mécanique), Poutres, Contraintes (mécanique), Résistance des matériaux, Fuites (résistance des matériaux)
Résistance des matériaux
Démarche générale en résistance des matériaux (dans le sens anti-horaire) : actions extérieures (forces, couples) ↔ efforts de cohésion (effort de normal, effort tranchant, moment fléchissant, moment de torsion) ↔ tenseur des contraintes σij ↔ tenseur de déformation εij ↔ champ de déplacementui(xi). Les relations sont (en bleu, dans le sens anti-horaire) : principe de la coupure, principe d'équivalence, loi de Hooke généralisée, dérivation/intégration. Pour étudier les poutres, on met en relation 1) les efforts de cohésion avec les efforts extérieurs, grâce au principe de la coupure ; 2) les efforts de cohésion avec le tenseur des contraintes, grâce au principe d'équivalence ; 3) le tenseur des contraintes avec le tenseur des déformations, grâce à la loi de Hooke généralisée ; 4) et la forme finale de la poutre, c'est-à-dire le champ des déplacements, avec le champ de tenseur des déformations. Le modèle de poutre permet de passer des efforts de cohésion au tenseur des contraintes ; il permet d'appliquer le principe d'équivalence. Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_poutres.
Sollicitations d'une poutre
Sollicitations dans une poutre isostatique (simplement appuyée) soumise à un chargement uniformément réparti : en vert, réactions aux appuis ; en rouge, efforts tranchants V(x) ; en bleu, moments fléchissants M(x).
Dessins et plans, Efforts (mécanique), Contraintes (mécanique), Milieux continus, Mécanique des, Tenseurs, Calcul des, Tétraèdres
Tétraèdre de Cauchy
Tétraèdre permettant de calculer le vecteur-contrainte normal à une face quelconque avec un vecteur n, fonction des composants du tenseur des contraintes. Considérons le petit élément de volume d au délimité par le tétraèdre de sommets M, (dx1,0,0),(0,dx2,0), (0,0,dx3). Les vecteurs normaux aux faces sont donc vec e_1,vec e_2,vec e_3 et le vecteur de composantes (1/mathrm{d}x_1, 1/mathrm{d}x_2, 1/mathrm{d}x_3). La force vec{mathrm{F}} s'exerçant sur une face vérifie vec mathrm{F} = mathrm{T} cdot vec n où vec n le vecteur caractéristique de la face, c'est-à-dire le vecteur normal ayant pour norme l'aire de la face. On a par exemple sur la face [M, (dx1,0,0),(0,dx2,0)], la relation vec mathrm{F} = egin{pmatrix} mathrm{F}_1 \ mathrm{F}_2 \ mathrm{F}_3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} sigma_{11} & sigma_{12} & sigma_{13}\ sigma_{12} & sigma_{22} & sigma_{23}\ sigma_{13} & sigma_{23} & sigma_{33}\ end{pmatrix} cdot egin{pmatrix} 0\ 0\ (mathrm{d}x_1 cdot mathrm{d}x_2)/2\end{pmatrix}.