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Buste de Pythagore
Buste de Pythagore de Samos. Copie romaine de l'original grec. Musée du Capitole à Rome.
Euclide et Pythagore ou la géométrie et l'arithmétique
Euclide et Pythagore ou la géométrie et l'arithmétique (représentation au XVème siècle)
Le théorème de Pythagore
Démonstration du théorème : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux côtés.
Margarita Philosophica - Arithmetica, 1508
Fragment d'une gravure sur bois (Grégoire Reisch, 1508) : l'Arithmétique présente un concours entre Boèce (Boetius) et Pythagoras (Pythagore). Ce dernier, manipulant un abaque antique (genre de boulier) peu pratique, est présenté fort embarrassé face à Boèce réjoui qui, ayant usé du calcul décimal et des chiffres indo-arabes, semble avoir terminé.
Pythagoras with bells
Fragment de gravure sur bois tiré de la "Theorica musicae" de Franchino Gaffurio, 1492
Dessins et plans, Philosophes grecs, Philosophes antiques, Milet (ville ancienne), Asie mineure, Sept sages de la Grèce
Carte de l'Asie Mineure
Carte de l'Asie Mineure antique et de Milet, la ville des "Sept Sages" présocratiques : Stilpon, Chilon, Thalès, Pythagore, Empédocle, Phérécyde, Anacharsis. Voici leur devise traduite : Thalès de Milet : Ἐγγύα, πάρα δ᾽ ἄτα. « Ne te porte jamais caution. » Solon d'Athènes : Μηδὲν ἄγαν. « Rien de trop. » Chilon de Sparte : Γνῶθι σεαυτόν. « Connais-toi toi-même. » Pittacos de Mytilène : Γίγνωσκε καιρόν. « Reconnais l'occasion favorable. » Bias de Priène : Οἱ πλεῖστοι κακοί. « Les plus nombreux sont les méchants. » ou « La plupart des hommes sont mauvais. » Cléobule de Lindos : Μέτρον ἄριστον. « La modération est le plus grand bien. » Périandre de Corinthe : « Prudence en toute chose. »
Construction du milieu d'un arc au compas
Construction au compas seul du milieu d'un arc : OABC est un parallélogramme de la forme OA=OB, I est le milieu de l'arc AB de centre O, D est le point de la demi-droite [OI) telle que CA=CD, alors OD=CI. En effet, CD^2=CA^2=2CO^2+OA^2. Ensuite il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore dans les deux triangles rectangle COI et COD : CI^2=CO^2+OI^2=CO^2+OA^2, OD^2=CD^2-CO^2=CO^2+OA^2. Or cette figure est réalisable au compas seul et permet donc de placer le point I. Si l'on suppose donnés le point O et l'arc AB, on construit le point C intersection du cercle de centre B et passant par A avec le cercle de centre O et de rayon AB. On construit de même le point C' intersection du cercle de centre A passant par O et du cercle de centre O et de rayon AB. Le point D est à l'intersection des cercles de centre C et C' et passant par A et B. Le point I est à l'intersection des cercles de centre C et C' et de rayon OD.
Peinture, Raphaêl, Philosophes grecs, Peinture de portraits de la Renaissance, Philosophes antiques, Philosophie de la Renaissance, Peinture et décoration murales de la Renaissance, Raphaël (1483-1520)
École française d'Athènes
Détail du tableau de Raphaël sur les personnages légendés de gauche à droite . 1 : Zénon de Citium, 2 : Épicure, 3 : Frédéric II de Mantoue ?, 4 : Boèce ou Anaximandre ou Empédocle ? 5 : Averroès, 6 : Pythagore, 7 : Alcibiade ou Alexandre le Grand ?, 8 : Antisthène ou Xénophon ?, 9 : Hypatie ou François Marie Ier della Rovere ?, 10 : Eschine ou Xénophon ?, 11 : Parménide ou Euclide ?, 12 : Socrate, 13 : Héraclite (sous les traits de Michel-Ange), 14 : Platon tenant le Timée (sous les traits de Léonard de Vinci), 15 : Aristote tenant l’Éthique, 16 : Diogène de Sinope, 17 : Plotin ?, 18 : Euclide ou Archimède entouré d'étudiants (sous les traits de Bramante) ?, 19 : Strabon ou Zoroastre ?, 20 : Ptolémée, R : Raphaël en Apelle, 21 : Le Sodoma en Protogène.
Expériences musicales de Pythagore
Expériences de Pythagore sur les proportions entre les sons : marteaux, cloches, verres plus ou moins pleins, flutes (avec Philolaos), cordes
Dessins et plans, Musique -- Intervalles et gammes, Mathématiciens, Solfège, Son, Musique en muséologie, Philosophes grecs dans l'Antiquité, Pythagore (0580?-0500? av. J.-C.)
Gamme pythagoricienne en solfège
Construction de la gamme pythagoricienne en solfège, avec 12 quintes ascendantes ramenées dans la même octave. On descend chaque fois que possible d'une octave afin de rester dans la même (représentée en bleu ciel). Pythagore (0580?-0500? av. J.-C.) est un philosophe et mathématicien grec.
Textes, Dix-neuvième siècle, Mathématiciens, Poésie, Vers alexandrin, Alphonse Rebière (1842−1901), Savants grecs
Histoire de π
Poème pour la mathématiciens grecs du nombre π, par Alphonse Rebière, Mathématiques et mathématiciens, 1898 (p. 399) : Pythagore et Archimède. 132 mots, 20 alexandrins.
Dessins et plans, Musique -- Intervalles et gammes, Mathématiciens, Solfège, Son, Musique en muséologie, Philosophes grecs dans l'Antiquité, Accords (musique), Pythagore (0580?-0500? av. J.-C.)
Intervalles de la gamme pythagoricienne
Représentation graphique d'une gamme pythagoricienne : il est possible de représenter une gamme pythagoricienne particulière en mettant les apotomes et les limmas les uns à la suite des autres selon les intervalles obtenus, le limma étant plus court que l'apotome d'un comma. Les deux demi-tons, qui sont identiques dans la gamme tempérée, sont nommés dans la gamme pythagoricienne : apotome, pour l'intervalle formé par une note et sa version altérée ; limma, pour l'intervalle formé par une note altérée et la note voisine ne portant pas le même nom. Ces intervalles sont disposés ainsi : do - apotome - do♯ - limma - ré, pour les quintes ascendantes ; do - limma - ré♭ - apotome - ré, pour les quintes descendantes. Dans la gamme pythagoricienne, les notes bémolisées sont inférieures d'un comma pythagoricien à leurs notes conjointes diésées, on en déduit l'ordre suivant : do - ré♭ - do♯ - ré. Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Accord_pythagoricien
Le théorème de Pythagore
Version géométrique du théorème de Pythagore, le théorème fondamental des espaces euclidiens : la somme des surfaces des deux carrés rose et bleu est égale à la surface du carré violet dont le côté est l'hypothénuse.
Projection orthogonale
La projection orthogonale est un type de perspective très utilisée en dessin (géométrie descriptive), et en infographie : la génération des figures est simple, par contre, on ne peut pas représenter l'éloignement (la taille des objets ne varie pas avec la distance). De manière plus générale, en algèbre linéaire, une projection orthogonale est un projecteur tel que les deux sous-espaces sont orthogonaux. La projection orthogonale permet de résoudre le problème de la plus courte distance d'un point à une droite, d'un point à un plan, ou plus généralement d'un point à un sous-espace affine d'un espace euclidien d'autre part. On peut alors utiliser ce concept pour résoudre des problèmes de type «moindres carrés». L'idée générale, basée sur le théorème de Pythagore, est que le problème de plus courte distance se ramène à une propriété d'orthogonalité.
Trace d'une perpendiculaire avec la méthode du 3 4 5
Tracé d'une perpendiculaire en maçonnerie, méthode du 3-4-5 : le triangle est rectangle (théorème de Pythagore).
Triangle rectangle
Triangle ABC rectangle en C. Le côté le plus long d'un triangle rectangle est appelé "hypoténuse" (côté AB dans cette image), les deux autres sont les "côtés de l'angle droit". Le théorème de Pythagore énonce, avec les notation du dessin ci-contre, que AB2 = AC2 + BC2.
Triangle rectangle isocèle
Triangle rectangle isocèle : c = √2. Pour 45 degrés (π/4 radians) : les deux angles du triangle rectangle sont égaux ; les longueurs a et b étant égales, nous pouvons choisir a = b = 1. On détermine alors le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle de 45 degrés en utilisant le théorème de Pythagore : c = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{2}. Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_trigonom%C3%A9trique.
Un triangle sur un globe
Sur une sphère, la somme des angles d'un triangle n'est pas égale à 180° : une sphère n'est pas un espace euclidien. Par contre, les lois de la géométrie euclidienne sont de bonnes approximations locales. Pour un petit triangle sur la surface de la Terre, la somme des angles est proche de 180°.