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Expériences de Pythagore sur les proportions entre les sons : marteaux, cloches, verres plus ou moins pleins, flutes (avec Philolaos), cordes
Démonstration du théorème : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux côtés.
Version géométrique du théorème de Pythagore, le théorème fondamental des espaces euclidiens : la somme des surfaces des deux carrés rose et bleu est égale à la surface du carré violet dont le côté est l'hypothénuse.
Sur une sphère, la somme des angles d'un triangle n'est pas égale à 180° : une sphère n'est pas un espace euclidien. Par contre, les lois de la géométrie euclidienne sont de bonnes approximations locales. Pour un petit triangle sur la surface de la Terre, la somme des angles est proche de 180°.
Construction au compas seul du milieu d'un arc : OABC est un parallélogramme de la forme OA=OB, I est le milieu de l'arc AB de centre O, D est le point de la demi-droite [OI) telle que CA=CD, alors OD=CI. En effet, CD^2=CA^2=2CO^2+OA^2. Ensuite il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore dans les deux triangles rectangle COI et COD : CI^2=CO^2+OI^2=CO^2+OA^2, OD^2=CD^2-CO^2=CO^2+OA^2. Or cette figure est réalisable au compas seul et permet donc de placer le point I. Si l'on suppose donnés le point O et l'arc AB, on construit le point C intersection du cercle de centre B et passant par A avec le cercle de centre O et de rayon AB. On construit de même le point C' intersection du cercle de centre A passant par O et du cercle de centre O et de rayon AB. Le point D est à l'intersection des cercles de centre C et C' et passant par A et B. Le point I est à l'intersection des cercles de centre C et C' et de rayon OD.
La projection orthogonale est un type de perspective très utilisée en dessin (géométrie descriptive), et en infographie : la génération des figures est simple, par contre, on ne peut pas représenter l'éloignement (la taille des objets ne varie pas avec la distance). De manière plus générale, en algèbre linéaire, une projection orthogonale est un projecteur tel que les deux sous-espaces sont orthogonaux. La projection orthogonale permet de résoudre le problème de la plus courte distance d'un point à une droite, d'un point à un plan, ou plus généralement d'un point à un sous-espace affine d'un espace euclidien d'autre part. On peut alors utiliser ce concept pour résoudre des problèmes de type «moindres carrés». L'idée générale, basée sur le théorème de Pythagore, est que le problème de plus courte distance se ramène à une propriété d'orthogonalité.
Tracé d'une perpendiculaire en maçonnerie, méthode du 3-4-5 : le triangle est rectangle (théorème de Pythagore).
Triangle ABC rectangle en C. Le côté le plus long d'un triangle rectangle est appelé "hypoténuse" (côté AB dans cette image), les deux autres sont les "côtés de l'angle droit". Le théorème de Pythagore énonce, avec les notation du dessin ci-contre, que AB2 = AC2 + BC2.
Triangle rectangle isocèle : c = √2. Pour 45 degrés (π/4 radians) : les deux angles du triangle rectangle sont égaux ; les longueurs a et b étant égales, nous pouvons choisir a = b = 1. On détermine alors le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle de 45 degrés en utilisant le théorème de Pythagore : c = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{2}. Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_trigonom%C3%A9trique.