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Dessins et plans | Arithmétique | Multiplication (arithmétique) | Mathématiques | Photographie | Matériel didactique | Jeux mathématiques | Calcul | Triangle | Carrés magiques | Fractions | Triangle de Pascal | Triangle arithmétique de Pascal | Blaise Pascal (1623-1662) | Pédagogie | Matériel pédagogique | Populations d'animaux | Dix (le nombre) | Aiguilles (horlogerie) | Horloges et montres | ...
Arithmétique modulo avec les aiguilles de l'heure. Source : http://data.abuledu.org/URI/50dda744-clock-group-svg

Arithmétique modulo avec les aiguilles de l'heure

L'aiguille des heures matérialise l'arithmétique modulo 12 ; l'« arithmétique de l'horloge » se réfère à l'« addition » des heures indiquées par la petite aiguille d'une horloge : concrètement, si nous commençons à 9 heures et ajoutons 4 heures, alors plutôt que de terminer à 13 heures (comme dans l'addition normale), nous sommes à 1 heure. De la même manière, si nous commençons à minuit et nous attendons 7 heures trois fois de suite, nous nous retrouvons à 9 heures (au lieu de 21).

Arithmetria.jpg. Source : http://data.abuledu.org/URI/50229536-arithmetria-jpg

Arithmetria.jpg

Scan par Nick Michael de Beham, (Hans) Sebald (1500-1550) : Arithmetria (B.124, P.126), extrait de "The Seven Liberal Arts", P., Holl. 123-129.

Arithmomètre de Charles Xavier Thomas vers 1820. Source : http://data.abuledu.org/URI/56f9974b-arithmometre-de-charles-xavier-thomas-vers-1820

Arithmomètre de Charles Xavier Thomas vers 1820

Arithmomètre de Charles Xavier Thomas vers 1820 exposé au musée des techniques de Stockholm en Suèden.

Boulier-Abaque. Source : http://data.abuledu.org/URI/51027f10-boulier-abaque

Boulier-Abaque

Croquis d'un abaque boulier : les unités sont placées en haut de la tige inférieure et les multiples de cinq en bas de la tige supérieure ; le nombre se lit donc au milieu du boulier ; chaque colonne peut représenter les nombres de 0 à 15 pour le report des retenues par multiples de 5. Voici le décompte de 1352964708, de gauche à droite : 1 = 1 + 0x5 ; 3 = 3 + 0x5 ; 5 = 0 + 1x5 ; 2 = 2 + 0x5 ; 9 = 4 + 1x5 ; 6 = 1 + 1x5 ; 4 = 4 + 0x5 ; 7 = 2 + 1x5 ; 0 = 0 + 0x5 ; 8 = 3 + 5x1.

Carrés de Fibonacci en spirale. Source : http://data.abuledu.org/URI/5183e2e1-carres-de-fibonacci-en-spirale

Carrés de Fibonacci en spirale

Une spirale logarithmique peut être approchée de la manière suivante : on commence à l'origine d'un repère cartésien, on se déplace de mathcal F_1 unités vers la droite, puis de mathcal F_2 unités vers le haut, on se déplace de mathcal F_3 unités vers la gauche, ensuite de mathcal F_4 unités vers le bas, puis de mathcal F_5 unités vers la droite, etc. Cela ressemble à la construction mentionnée pour le nombre d'or.

Chemins binaires dans le triangle de Pascal. Source : http://data.abuledu.org/URI/5183df98-chemins-binaires-dans-le-triangle-de-pascal

Chemins binaires dans le triangle de Pascal

Les quatre chemins binaires dans le triangle de Pascal : Imaginons que chaque nombre dans le triangle est un nœud dans un réseau qui est connecté aux nombres adjacents du dessus et du dessous. Maintenant pour n'importe quel nœud dans le réseau, comptons le nombre de chemins qu'il y a dans le réseau (sans faire marche arrière) qui connecte ce nœud au nœud supérieur du triangle. La réponse est le nombre de Pascal associé à ce nœud.

Construire dix avec les réglettes cuisenaire. Source : http://data.abuledu.org/URI/53e8ec9f-construire-dix-avec-les-reglettes-cuisenaire

Construire dix avec les réglettes cuisenaire

Construire dix avec dix-huit réglettes cuisenaire de quatre couleurs différentes

Correspondances heures et angles. Source : http://data.abuledu.org/URI/50dda555-correspondances-heures-et-angles

Correspondances heures et angles

Douze angles définis modulo 360 degrés correspondent à des temps, définis modulo 12 heures. Par exemple, une aiguille d’horloge a une seule position numérotée zéro ou vingt-quatre, parce que 0 = 24 modulo 12. Cette position correspond à 90 ou –270 degrés modulo 360 degrés. Ainsi nous identifions direction et sens d’une demi-droite ou d’un vecteur en coordonnées polaires, ou l’angle d’une rotation donnée, ou l’argument d’un nombre complexe donné. Le dessin sur le cadran de l’horloge évoque des progressions arithmétiques de raisons 5 ou 7 modulo 12. Par exemple, en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre à partir de 1, nous passons par les termes : 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7, 12, 5, 10, 3, 8. Cette suite correspond à une progression de raison arithmétique 210 degrés modulo 360 degrés. Si les douze positions d’une aiguille d’horloge sont numérotées dans l’ensemble P de douze éléments, de 1 à 12 modulo 12, et si l’ensemble A est constitué des angles indiqués dans l’image, une bijection B de P sur A peut être définie par B( t ) = 90 – 30 t. Par exemple, B( 12 ) = 90 – 30 × 12 = 90 degrés modulo 360 degrés. L'arithmétique modulaire est un système arithmétique d'entiers modifiés, où les nombres sont « abaissés » lorsqu'ils atteignent une certaine valeur. Donnons comme exemple, l'« arithmétique de l'horloge » qui se réfère à l'« addition » des heures indiquées par la petite aiguille d'une horloge : concrètement, si nous commençons à 9 heures et ajoutons 4 heures, alors plutôt que de terminer à 13 heures (comme dans l'addition normale), nous sommes à 1 heure. De la même manière, si nous commençons à minuit et nous attendons 7 heures trois fois de suite, nous nous retrouvons à 9 heures (au lieu de 21). Fondamentalement, quand nous atteignons 12, nous recommençons à zéro ; nous travaillons modulo 12. Pour reprendre l'exemple précédent, on dit que 9 et 21 sont congrus modulo 12. Les nombres 9 ; 21 ; 33 ; 45 ; etc. sont considérés comme égaux lorsqu'on travaille modulo 12. Pour généraliser, nous pouvons facilement imaginer une horloge qui contient un nombre arbitraire d'heures, et faire des calculs avec un nouveau modulo.

Division à l'anglaise. Source : http://data.abuledu.org/URI/56f316ff-division-a-l-anglaise

Division à l'anglaise

Cahier de classe en arithmétique, la division, 1815-1835. Exposition au Concord Museum, Concord, Massachusetts, USA.

L'art de compter avec les doigts en 1727. Source : http://data.abuledu.org/URI/5964f2cd-l-art-de-compter-avec-les-doigts-en-1727

L'art de compter avec les doigts en 1727

L'art de compter avec les doigts en 1727, "Theatrum arithmetico geometricum" par Jacob Leupold (1674–1727), à partir de la méthode pédagogique de Bede le Vénérable, mort en 735.

La suite de Fibonacci. Source : http://data.abuledu.org/URI/5183e10c-la-suite-de-fibonacci

La suite de Fibonacci

Triangle de Pascal et suite de Fibonacci : La somme des diagonales ascendantes du triangle de Pascal forme la suite de Fibonacci. Leonardo Fibonacci (v. 1175-1250). Elle doit son nom à Leonardo Fibonacci, dit Leonardo Pisano, un mathématicien italien du XIIIe siècle qui, dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci, décrit la croissance d'une population de lapins : « Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ? » Cette suite est fortement liée au nombre d'or, φ (phi). Ce nombre intervient dans l'expression du terme général de la suite. Inversement, la suite de Fibonacci intervient dans l'écriture des réduites de l'expression de φ (phi) en fraction continue : les quotients de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci sont les meilleures approximations du nombre d'or.

Les lapins de Fibonacci. Source : http://data.abuledu.org/URI/5183e1c6-les-lapins-de-fibonacci

Les lapins de Fibonacci

Croissance de population des lapins selon une suite de Fibonacci (Leonardo Fibonacci, v. 1175-1250). « Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ? »

Nombre triangulaire. Source : http://data.abuledu.org/URI/518444be-nombre-triangulaire

Nombre triangulaire

Le 28 est le septième nombre triangulaire ou encore le nombre triangulaire d'indice 7 : en arithmétique, un nombre triangulaire est un cas particulier de nombre figuré. Il correspond à un nombre entier positif égal au nombre de pastilles dans un triangle construit à la manière de cette figure. Source : p. 320, Die Gartenlaube (1887), Ernst Keil's Nachfolger.

Nombres triangulaires. Source : http://data.abuledu.org/URI/5183f894-nombres-triangulaires

Nombres triangulaires

Représentation graphique des premiers nombres triangulaires : la représentation figurée permet un calcul pour les premières valeurs. Une définition formelle s'obtient par récurrence : le nombre triangulaire d'indice 1 est égal à 1, et un nombre triangulaire est égal à son prédécesseur additionné de son indice. Les premiers nombres triangulaires sont : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 ... Il existe différentes manières de calculer le nombre triangulaire d'indice n, l'une d'elles est graphique et s'obtient par un raisonnement d'arithmétique géométrique.

Quatre symboles arithmétiques. Source : http://data.abuledu.org/URI/50d70483-quatre-symboles-arithmetiques

Quatre symboles arithmétiques

Quatre symboles d'opérations arithmétiques : addition (jaune), fraction (vert), soustraction (bleu) et multiplication (violet).

Vingt réglettes cuisenaire. Source : http://data.abuledu.org/URI/53e8eb42-vingt-reglettes-cuisenaire

Vingt réglettes cuisenaire

Vingt réglettes cuisenaire de dix couleurs différentes. Georges Cuisenaire (1891-1975) était un pédagogue belge qui inventa la méthode des réglettes couleur pour l'apprentissage de l'arithmétique, auteur de "Les nombres en couleur".

Arithmétique idiosyncratique. Source : http://data.abuledu.org/URI/51d84ea4-arithmetique-idiosyncratique

Arithmétique idiosyncratique

1892-1893. Source : Popular Science Monthly, Volume 42, "Number forms", par G. T. W. Patrick, professeur de philosophie à l'université d'Iowa. Illustration d'une remarque Miss H. R. Hudson (Atlantic Monthly for February, 1873) sur les idiosyncrasies : Les neuf chiffres montent directement à la verticale, et les suivants suivent en diagonale.

Bug triangle magique. Source : http://data.abuledu.org/URI/5025116f-bug-triangle-magique
Égalité de deux fractions. Source : http://data.abuledu.org/URI/57059509-egalite-de-deux-fractions

Égalité de deux fractions

Égalité de deux fractions : 3/4 = 6/8.

Le triangle de Pascal (1). Source : http://data.abuledu.org/URI/5183deb0-le-triangle-de-pascal-1-

Le triangle de Pascal (1)

Premières lignes du triangle de Pascal.

Les quatre pentaminos. Source : http://data.abuledu.org/URI/50bc18c6-les-quatre-pentaminos

Les quatre pentaminos

Avec les pentaminos, le puzzle classique est de paver une surface rectangulaire sans trou et ni chevauchement. Chaque pentamino, au nombre de 12, contient 5 carrés. En conséquence, le rectangle doit faire 60 carrés de surface ; les dimensions possibles sont donc 6×10, 5×12, 4×15 et 3×20. Les joueurs les plus motivés parviennent à les compléter en quelques heures à la main.

Multiplication. Source : http://data.abuledu.org/URI/56f3144f-multiplication

Multiplication

Matériel pédagogique pour l'apprentissage des tables de multiplication.

Multiplication de deux carrés magiques - 1. Source : http://data.abuledu.org/URI/52f5679c-multiplication-de-deux-carres-magiques-1

Multiplication de deux carrés magiques - 1

Multiplication de deux carrés magiques : Soit à effectuer le « produit » de ces deux carrés magiques, un de 3x3 et l'autre de 4x4. Le carré magique final sera de 12x12. Le « produit » de deux carrés magiques crée un carré magique d'ordre supérieur aux deux multiplicandes. Ce produit s'effectue ainsi. Soit les carrés magiques M et N : 1) Le carré final sera d'ordre MxN ; 2) Diviser le damier final en NxN sous-damiers de MxM cases ; 3) Dans le carré N, réduire de 1 la valeur de tous les nombres ; 4) Multiplier ces valeurs réduites par M × M. Les résultats sont reportés dans les cases de chaque sous-damier correspondant du carré final ; 5) Les cases du carré M sont additionnées NxN fois aux cases du damier final. Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_magique_%28math%C3%A9matiques%29.

Multiplication de deux carrés magiques - 2. Source : http://data.abuledu.org/URI/52f56862-multiplication-de-deux-carres-magiques-2

Multiplication de deux carrés magiques - 2

Deuxième étape de la multiplication des deux carrés magiques (3 et 4) : Le carré magique de 3x3 est remplacé par le produit (3 × 3), alors que chaque nombre du carré 4x4 est diminué de 1. Le damier final, de taille 12x12, est divisé en 4x4 sous-damiers, chacun ayant 3x3 cases. Chacune de ses cases s'obtient en multipliant (3 × 3) par l'une des cases du carré magique 4x4 « diminué ». Par exemple, 117 est le produit de 3 × 3 × 13. Ce carré est magique, mais n'est pas normal. La prochaine étape va « corriger » cette « anomalie ».

Multiplication de deux carrés magiques - 3. Source : http://data.abuledu.org/URI/52f568e9-multiplication-de-deux-carres-magiques-3

Multiplication de deux carrés magiques - 3

Multiplication de deux carrés magiques, dernière étape : Après 4x4 additions du carré 3x3, le carré final est magique et normal.

Multiplication de fractions. Source : http://data.abuledu.org/URI/570596bd-multiplication-de-fractions

Multiplication de fractions

Multiplication de fractions : 3 x 1/4 = 3/4.

Tables de multiplication. Source : http://data.abuledu.org/URI/56f314a4-tables-de-multiplication

Tables de multiplication

Calcul automatique des tables de multiplication.

Tables de multiplication. Source : http://data.abuledu.org/URI/56f314f4-tables-de-multiplication

Tables de multiplication

Tables de multiplication.

Tables de multiplication en spirale. Source : http://data.abuledu.org/URI/56f995e5-tables-de-multiplication-en-spirale

Tables de multiplication en spirale

Apprentissage des tables de multiplication en spirale.

Triangle de Pascal. Source : http://data.abuledu.org/URI/5183de07-triangle-de-pascal

Triangle de Pascal

Triangle de Pascal : En mathématiques, le triangle de Pascal, est une présentation des coefficients binomiaux dans un triangle. Il fut nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français Blaise Pascal (1623-1662). Il est connu sous l'appellation triangle de Pascal en Occident, bien qu'il fut étudié par d'autres mathématiciens des siècles avant lui en Inde, Perse, Maghreb, Chine (où il est appelé « Triangle de Yang Hui »), Allemagne et Italie.