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Dessins et plans | Aires (surfaces) -- Mesure | Aires (surfaces) | Géométrie | Pizzas | Pi (le nombre) | Nombres transcendants | Théorèmes -- Démonstration automatique | Géométrie des nombres | Cercles | Polygones | Disques | Alimentation | Théorèmes -- Preuve automatique | Jeux de cubes | Photographie | Nombres non-rationnels | Papyrus Bremner-Rhind | British library -- Manuscrits. Papyrus 10188 | Unités de mesure | ...
Approximation de PI par Ahmès. Source : http://data.abuledu.org/URI/51e4e160-approximation-de-pi-par-ahmes

Approximation de PI par Ahmès

Illustration de l'approximation de π (PI) par Ahmès (Égypte). Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers l’an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d’un manuel de problèmes pédagogiques très ancien. On y trouve une méthode pour évaluer l’aire d’un disque en prenant le carré dont le côté est égal au diamètre du disque diminué d’un neuvième. Cette méthode conduit à une évaluation de π de 256/81. Dans l’illustration ci-contre, le disque a pour diamètre 9. L’aire du disque est légèrement supérieure à l’aire de l’octogone irrégulier obtenu en rognant les coins du carré de côté 9. Cet octogone a pour aire 63, l’aire du disque est alors évaluée à 64 soit l’aire d’un carré de côté 8. Le rapport entre l’aire du disque et le carré du rayon est alors évalué par 64/(9/2)^2, c’est-à-dire 256/81.

Calcul de l'aire du cercle avec Géogébra. Source : http://data.abuledu.org/URI/51e4dfeb-calcul-de-l-aire-du-cercle-avec-geogebra

Calcul de l'aire du cercle avec Géogébra

Calcul de l'aire du cercle avec Géogébra : rayon x demi-circonférence. On déduit d’une propriété analogue pour les polygones réguliers que l’aire d’un cercle égale son demi-périmètre multiplié par son rayon. le périmètre du polygone est à peu près 2πr alors qu’en redistribuant les triangles formés on remarque que son aire est à peu près πr2. Pour formaliser le « à peu près » il faudrait faire tendre le nombre de côtés du polygone vers l’infini, ce qui illustre déjà la nature « analytique » de π.

Échelle de 1 à 1000. Source : http://data.abuledu.org/URI/50b920ef-echelle-de-1-a-1000

Échelle de 1 à 1000

Comparaison de volumes de 1 à 1000 avec quatre tailles de boites cubiques.

Encadrement de PI par Liu Hui. Source : http://data.abuledu.org/URI/51e4e301-encadrement-de-pi-par-liu-hui

Encadrement de PI par Liu Hui

Représentation de l'encadrement de π par Liu Hui. Si les calculs pratiques peuvent se faire avec une bonne précision en utilisant la valeur 3,14 comme approximation de π, la curiosité des mathématiciens les pousse à déterminer ce nombre avec plus de précision. Au IIIe siècle, en Chine, Liu Hui, commentateur des Neuf chapitres, propose comme rapport entre le périmètre et le diamètre la valeur pratique de 3 mais développe des calculs proches de ceux d’Archimède mais plus performants et fournit une approximation de π de 3,1416.

Théorème de la pizza. Source : http://data.abuledu.org/URI/52e547d3-theoreme-de-la-pizza

Théorème de la pizza

Théorème de la pizza. Source : Carter, Larry & Wagon, Stan (1994a), "Proof without Words: Fair Allocation of a Pizza", Mathematics Magazine 67 (4): 267.

Théorème de la pizza appliqué à une pizza. Source : http://data.abuledu.org/URI/52e5486b-theoreme-de-la-pizza-applique-a-une-pizza

Théorème de la pizza appliqué à une pizza

Théorème de la pizza appliqué à une pizza.

Théorème de la pizza en huit parts. Source : http://data.abuledu.org/URI/52e546fd-theoreme-de-la-pizza-en-huit-parts

Théorème de la pizza en huit parts

En géométrie euclidienne, le théorème de la pizza donne une égalité ou une inégalité d'aires lors de la partition d'un disque par des droites concourantes. Il porte ce nom en raison d'une forte analogie avec la technique usuelle de découpage d'une pizza. Exemple avec huit parts : aire jaune = aire violette. Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_pizza.